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有100盏灯,从1~100编上号,开始时所有的灯都是关着的。 第一次,把所有编...

有100盏灯,从1~100编上号,开始时所有的灯都是关着的。

第一次,把所有编号是1的倍数的灯的开关状态改变一次;

第二次,把所有编号是2的倍数的灯的开关状态改变一次;

第三次,把所有编号是3的倍数的灯的开关状态改变一次;

以此类推,直到把所有编号是100的倍数的灯的开关状态改变一次。

问,此时所有开着的灯的编号。

【分析】

由于最开始灯是灭的,那么只有经过奇数次改变开关状态的灯是亮的。根据题意可知一个数字有多少约数就要开关多少次,所以最后亮着的灯的数学解释就是:灯的编号有奇数个不同的约数。

一个数的约数按出现的奇偶个数分为以下两种:

约数是成对出现的,比如8的约数对为:(1,8)、(2,4)。

约数是单个出现的,比如36的约数对为:(1,36)、(2,18)、(3,12)、(4,9)、(6)。

可以看出6自己单独是36的约数,而不是和别的数连在一起。所以只有平方数才会有奇数个整型约数,才满足本题的要求。从1到100的平方数为:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100。

所以只有这些灯是亮的。

【答案】

编号为1,4,9,16,25,36,49,64,81,100的灯是亮的。

说明:本题是一道数学类型题目,但是绝对不能用简单的计算法来解决本题,那样的计算量太庞大,所以用分析法加计算法来分析才是正确简单的解决本题的最佳途径。

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