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史密斯夫妇邀请另外四对夫妇就餐,已知他们每个人都不和自己握手,不和自己的配偶握手...

史密斯夫妇邀请另外四对夫妇就餐,已知他们每个人都不和自己握手,不和自己的配偶握手,且不和同一个人握手一次以上。在大家见面握手寒暄后,史密斯问大家握手了几次,每个人的答案都不一样。

问:史密斯太太握手几次?

【解析】

解决本题可用排除法,把一些无关的信息先予以排除,可以确定的问题先确定,尽可能缩小未知的范围,以便于问题的分析和解决。这种思维方式在我们的工作和生活中都是很有用处的。根据已给的条件可知:

(1)总共10个人,每个人不与自己握手,不与配偶握手,不与同一个人握手超过一次,所以每个人最多握8次手,最少0次。

(2)史密斯先生问其他9个人握了几次手,各人回答不一样,所以每个人的握手次数应为0-8次,每种不同次数有1个人。可知除了斯密斯先生外,其他九个人的握手次数如图1所示。

图1 四对夫妇及史密斯夫人的握手次数

图1 四对夫妇及史密斯夫人的握手次数

假设I握了8次手,即I与其配偶以外的所有人都握了手;可以假设I为史密斯太太,她握了八次手,即与史密斯先生以外的每个人都握了一次手。可以推知除斯密斯夫妇外的其他三对夫妇的握手次数至少为1,与上面推断已知的A的握手次数为0冲突。所以假设不成立。并可推知握手0次的A和握手8次的I为一对夫妇。实际的握手情况按夫妻分配可以参考图2:

图2 五对夫妇中一对夫妇的握手情况

图2 五对夫妇中一对夫妇的握手情况

(3)根据(2)可知A夫妇其中一人,与每个人握手一次,另外一个人没有握手。所以可以排除夫妇A,即假设夫妇A没有参加聚会,其余七人的握手次数减1,此时参加聚会的人数为史密斯夫妇和另外三对夫妻8人。除史密斯先生外,其他7人的握手次数情况如图3所示。

图3 三对夫妇及史密斯夫人的握手次数

图3 三对夫妇及史密斯夫人的握手次数

假设H为史密斯太太,则斯密斯太太与其他三对夫妇每人握手一次,即其他6人的握手次数至少为1次,但是根据图3可知,B握手0次,所以假设不成立,即H不是史密斯太太,并可推知B和H是一对夫妇。去掉夫妇A后握手情况按夫妻分配可以参考图4:

图4 四对夫妇中一对夫妇的握手情况

图4 四对夫妇中一对夫妇的握手情况

(4)去掉夫妇B后(即假设夫妇B没有参加聚会)其余五人的握手次数分配情况如下图5所示。

图5 两对夫妇及史密斯夫人的握手次数

图5 两对夫妇及史密斯夫人的握手次数

假设G为史密斯太太,则斯密斯太太与其他两对夫妇每人握手一次,即其他4人的握手次数至少为1次,但是根据图5可知,C握手0次,所以假设不成立,即G不是史密斯太太,并可推知C和G是一对夫妇。去掉夫妇B后握手情况按夫妻分配可以参考图6:

图6 三对夫妇中一对夫妇的握手情况

图6 三对夫妇中一对夫妇的握手情况

(5)去掉夫妇C后(即假设夫妇C没有参加聚会)其余三人的握手次数分配情况如图7所示。

图7 一对夫妇及史密斯夫人的握手次数

图7 一对夫妇及史密斯夫人的握手次数

假设F为史密斯太太,则斯密斯太太与另外一对夫妇每人握手一次,这2人的握手次数至少为1次,但是根据图7可知,D握手0次,所以假设不成立,即F不是史密斯太太,并可推知D和F是一对夫妇。去掉夫妇B后握手情况按夫妻分配可以参考图6:

图8 两对夫妇中一对夫妇的握手情况

图8 两对夫妇中一对夫妇的握手情况

而剩下的E便是史密斯太太。根据图1可知她总共握了四次手。

【答案】

史密斯夫人握了四次手。

说明:查找这9个人中谁是史密斯太太,和查找这9个人中谁不是史密斯太太的结果是一样的。这就是排除法的实现技巧。

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